Analizando las partes fundamentales de una matriz
Para comprender qué es una matriz, es crucial empezar por
entender sus componentes fundamentales. Una matriz está compuesta por filas y
columnas, siendo comúnmente denominadas las filas como renglones.
Visualmente, una matriz se encierra entre dos corchetes. La
intersección de una fila y una columna dentro de la matriz representa un elemento,
comúnmente etiquetado como a ij ,
donde i representa el número de fila
y j el número de columna.
Consideremos la creación de una matriz con tres filas y cuatro columnas, representada de manera concisa como de orden 3×4, indicando en la parte inferior derecha la cantidad de filas y columnas respectivamente.
En la matriz previa de orden 3×4, seleccionaremos el elemento correspondiente a la fila 2, columna 1, reconociendo como a21 = 0 . La fila está resaltada en amarillo y la columna en turquesa claro para facilitar la identificación visual.
Haciendo uso de otro ejemplo, ahora seleccionaremos el elemento
que corresponde a la fila 1 columna 3, a13 teniendo un valor de -10 así mismo la fila pintada de color amarillo y la columna color celeste.
Cuando una matriz tiene el mismo numero de filas que de columnas se denomina matriz cuadrada y en la esquina inferior derecha se coloca el numero de orden de la matriz, por ejemplo presentaremos una matriz de orden 4, eso quiere decir cuatro filas y cuatro columnas.
Así mismo podemos seguir formando matrices de orden cuadrada de orden 2, 3, 5, 6, 7, ... , etc.
Operaciones con matrices
Luego de conocer las partes de una matriz, vamos a realizar con ellas las operaciones esenciales que se dan con matrices como son la suma, resta, multiplicación entre matrices.
Suma y Resta de matrices:
Para sumar matrices se debe tener en cuenta que tengan el mismo orden m x n eso quiere decir el mismo número de filas que de columnas, caso contrario no se podrá realizar la suma o la resta.
En el siguiente ejemplo sumaremos la matriz A y la matriz B.
Nos fijamos que ambas matrices tienen el orden 4 x 3 , por lo tanto la suma como la resta son realizables.
Cada elemento de la matriz A= aij se sumara con cada elemento de la matriz B = bij :
A + B = ( aij + bij )
( a11 + b11 ) = 1 + ( - 4) = 1 - 4 = - 3
( a12 + b12 ) = 8 + 1 = 9
( a13 + b13 ) = ( - 5 ) + 0 = - 5
( a21 + b21 ) = 0 + 1 = 1
( a22 + b22 ) = 0 + ( - 8 ) = - 8
( a23 + b23 ) = 12 + 6 = 18
( a21 + b21 ) = 4 + ( - 3 ) = 4 - 3 = 1
( a22 + b22 ) = 1 + 1 = 2
( a23 + b23 ) = 0 + 0 = 0
( a21 + b21 ) = 0 + 1 = 1
( a22 + b22 ) = 1 + 2 = 3
( a23 + b23 ) = 1 + 9 = 10
A - B = ( aij - bij )
( a11 - b11 ) = 1 - ( - 4) = 1 + 4 = 5
( a12 - b12 ) = 8 - 1 = 7
( a13 - b13 ) = ( - 5 ) - 0 = - 5
( a21 - b21 ) = 0 - 1 = - 1
( a22 - b22 ) = 0 - ( - 8 ) = 8
( a23 - b23 ) = 12 - 6 = 6
( a21 - b21 ) = 4 - ( - 3 ) = 4 + 3 = 7
( a22 - b22 ) = 1 - 1 = 0
( a23 - b23 ) = 0 - 0 = 0
( a21 - b21 ) = 0 - 1 = - 1
( a22 - b22 ) = 1 - 2 = - 1
( a23 - b23 ) = 1 - 9 = - 8
Dando como resultado tanto en la suma como en la resta una matriz del mismo orden
4 x 3 .
Multiplicación de matrices:
Para multiplicar matrices se debe considerar que la columna de la primera matriz sea igual en numero a la fila de la segunda matriz, caso contrario no será posible llevar a cabo la multiplicación.
Una vez comprobado que el numero de columnas siendo 2 en la primera matriz es igual al numero de filas que es 2 en la segunda matriz se procede de la siguiente manera.
C11 = (5 x 1) + ( 2 x 2 ) = 5 + 4 = 9
C12 = (5 x 0) + ( 2 x 1 ) = 0 + 2 = 2
C
13 = (5 x -1) + ( 2 x 5 ) = -5 + 10 = 5
Así mismo se continua con la siguiente fila de la primera matriz la A multiplicando a cada columna de la matriz B.
C21 = (1 x 1) + ( - 4 x 2 ) = 1 - 8 = - 7
C22= (1 x 0) + ( - 4 x 1 ) = 0 - 4 = - 4
C21 = (1 x - 1) + ( - 4 x 5 ) = - 1 - 20 = - 21
Colocando todas las respuestas Cij en la matriz C siendo la respuesta de la multiplicación de A x B.
Debe tenerse en cuenta que A x B no es lo mismo que B x A.
