Sistema de los números reales.
En el conjunto de números reales se incluyen tanto los números
racionales como los irracionales. Según la convención, se utiliza una línea
infinitamente extensa para representar los números reales, con los positivos
ubicados a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda. Es relevante destacar
que en cada punto de la recta numérica, hay un número real correspondiente, y
viceversa; es decir, para cada número real, existe un punto correspondiente en
la recta que lo representa.
En la representación gráfica del sistema de números reales,
como se ilustra en la segunda figura, se evidencia una estructura dividida en
dos conjuntos fundamentales: los números racionales y los números irracionales.
Dentro de los números racionales, se identifican subconjuntos que incluyen los
números naturales (1, 2, 3, ...), los números enteros (0, 1, 2, 3, ...) y los
números enteros negativos (0, -1, -2, -3, ...). La figura destaca claramente
que el conjunto de números naturales es un subconjunto del conjunto de números
enteros, y a su vez, el conjunto de números enteros es un subconjunto del
conjunto de números racionales.
Este análisis visual nos proporciona una comprensión clara de
la jerarquía y las relaciones entre los distintos conjuntos dentro del sistema
de números reales, facilitando la interpretación de su estructura matemática.
Propiedades de los números reales.
También hemos explorado las diversas características de los
números reales. En nuestras conversaciones, abordaremos la naturaleza de los números
reales, considerando sus distintas propiedades.
(1)
conmutativo
Conmutativo tanto en la adición como en la multiplicación; en otras palabras, para cualquier par de números reales a y b, se cumple que
a + b = b + a y
ab = ba.
(2)
asociativo
Asociativo
tanto en la adición como en la multiplicación; es decir, para cualquier
conjunto de números reales a, b y c.
( a + b ) + c = a + ( b + c ).
(3)
distributivo
Distributivo
en relación con la adición. En otras palabras, para cualquier conjunto de
números reales a, b y c.
a ( b + c ) = ab + ac.
Ahora nos adentramos en propiedades adicionales que aún no han
sido abordadas. Examinamos la presencia de elementos identidad y las inversas
tanto a la operación de suma como a la de multiplicación.
(4)
identidad
Identidad
en la operación de suma y multiplicación. En el caso de la suma, para cada
número real a, existe un número 0 tal que
a + 0 = a = 0 + a ;
En el
contexto de la multiplicación, para cada número real a, existe un número 1 que
cumple con la condición de.
a (1) = a = (1 ) ( a )
(5)
inversas . Para
cualquier número real a, existe un inverso aditivo –a, cumpliendo así que a + – a = 0
= – a + a ; para
todos los números reales a, existe un inverso multiplicativo 1/ a tal
que a (1/ a ) =
1 = (1/ a )( a )
Es importante destacar la conversación acerca de la clausura de
los números reales. Esto implica que al realizar operaciones como suma, resta o
multiplicación entre números reales, el resultado continúa siendo un número
real. No obstante, la división de números reales no sigue esta regla de
clausura, ya que no podemos dividir ningún número real entre 0.
En conclusión, Los números reales, abarcando racionales e
irracionales, son fundamentales y versátiles en matemáticas. Su estructura, con
propiedades notables y excepciones como la división por cero, provee un sólido
marco para entender fenómenos en ciencias aplicadas, destacando su esencial
papel en el análisis matemático.